讨论级数√（arctan（n+k）-arctan（n））的敛散性

讨论级数的敛散性需要进行一定的分析和推导。首先，我们来观察级数的一般形式：

√(arctan(n+k)-arctan(n))

其中，n和k是自然数，arctan是反正切函数，√表示平方根。

根据级数的定义，我们需要判断级数的项是否趋于零，即判断lim(n→∞)√(arctan(n+k)-arctan(n)) = 0 是否成立。

考虑arctan函数在无穷远处的性质，我们知道lim(n→∞)arctan(n) = π/2。因此，我们可以将级数进行变换：

√(arctan(n+k)-arctan(n)) = √(π/2 - arctan(n) + arctan(n+k) - arctan(n)) = √(π/2 - arctan(n) + arctan(n+k) - arctan(n))/√(n+k)

然后，我们可以使用泰勒展开来近似arctan函数：

arctan(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + ...

将此展开式代入上面的式子进行简化，我们可以得到：

√(arctan(n+k)-arctan(n))/√(n+k) ≈ √[(n+k) - n + (n+k)^3/3 - n^3/3]/√(n+k) = √[(n+k)^2/3 - n^2/3]/√(n+k)

对上式取极限，我们得到：

lim(n→∞)√[(n+k)^2/3 - n^2/3]/√(n+k) = lim(n→∞)√[(k^2 + 2kn)/3 + 2k^2/3n + 1 - 1]/√(n+k) = √(2k)/√k = √2

因此，我们可以得出结论：级数√(arctan(n+k)-arctan(n)) 的敛散性为发散，即该级数不收敛。

请注意，以上推导过程中，我们使用了级数的变换和近似，所以需要对结果进行验证和严格证明。同时，该结论仅适用于特定的级数形式，若存在其他变量或系数，结论可能会有所不同。所以，在具体问题中，需要根据具体情况进行分析和推导。